Giải bài 4 trang 84 – SGK Hình học lớp 10

Giả sử đường tròn có tâm \(I\left( a;b \right) \), bán kính R.

Suy ra phương trình đường tròn có dạng \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}} \)

Do đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên \(d\left( I,Ox \right)=d\left( I,Oy \right)=R \)

\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=R \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=b=R \\ & a=-b=R \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)

Trường hợp 1: Với \(a = b = R\) phương trình đường tròn có dạng \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-a \right)}^{2}}={{a}^{2}} \)

Do \(M\left( 2;1 \right)\) thuộc đường tròn nên ta có

\(\begin{aligned} & {{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-a \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+5=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=1 \\ & a=5 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Suy ra có hai đường tròn thỏa mãn là \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1 \) và \({{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25 \).

Trường hợp 2: Với \(a=-b=R\) phương trình đường tròn có dạng \(\left( x-{{a}} \right)^{2}+\left( y+{{a}} \right)^{2}={{a}^{2}}\) 

Do \(M\left( 2;1 \right) \) thuộc đường tròn nên ta có

\(\begin{aligned} & {{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( 1+a \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+5=0\,\left( \text{vô nghiệm} \right) \\ \end{aligned}\)

Suy ra không có đường tròn nào thỏa mãn.

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu của đề bài là

\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1 \) và \({{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25 .\)

Ghi nhớ:

Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) thì \(d\left( I,d \right)=R\)