Giải bài 10, 11 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12
10. Chứng minh rằng với mọi số phức \(z\ne 1 \), ta có
\(1+z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{9}}=\dfrac{{{z}^{10}}-1}{z-1} \)
11. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (\(z\) là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
\({{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}};\) \(\dfrac{z-\overline{z}}{{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}};\) \(\dfrac{{{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}{1+z\overline{z}}.\)
10. Ta có:
\(\begin{aligned} \left( 1+z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{9}} \right)\left( z-1 \right)&=z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{10}}-\left( 1+z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{9}} \right) \\ & ={{z}^{10}}-1 \\ \end{aligned} \)
Vì \(z\ne 1 \) nên chia hai vế cho \(z-1\) ta được
\(1+z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{9}}=\dfrac{{{z}^{10}}-1}{z-1} \)
11. Gợi ý: Nếu \(z=\overline z\) thì \(z\) là số thực và nếu \(z=-\overline z\) thì \(z\) là số ảo
Ta có:
+) \(\overline{{{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}=\overline{{{z}^{2}}}+\overline{{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}={{\left( \overline{z} \right)}^{2}}+{{\left( \overline{\overline{z}} \right)}^{2}}={{\left( \overline{z} \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \)
\(\Rightarrow {{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}\) là số thực.
+) \(\overline{\left( \dfrac{z-\overline{z}}{{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}} \right)}=\dfrac{\overline{z}-z}{{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}+{{z}^{3}}}=-\dfrac{z-\overline{z}}{{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{z-\overline{z}}{{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}}\) là số ảo.
+) \(\overline{\left( \dfrac{{{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}{1+z\overline{z}} \right)}=\dfrac{{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}-{{z}^{2}}}{1+\overline{z}z}=-\dfrac{{{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}{1+z\overline{z}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}{1+z\overline{z}} \) là số ảo.