Giải bài 12 trang 191 SGK giải tích nâng cao 12
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) \(z^2\) là số thực âm; b) \({{z}^{2}}\) là số ảo;
c) \({{z}^{2}}={{\left( \overline{z} \right)}^{2}}\); d) \(\dfrac{1}{z-i} \) là số ảo.
Giả sử số phức \(z=a+bi \Rightarrow {{z}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi \)
a) \(z^2\) là số thực âm
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & ab=0 \\ & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}<0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=0 \\ & b\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục Oy trừ điểm O.
b) \({{z}^{2}}\) là số ảo
\({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=b \\ & a=-b \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác \(y=\pm x\) của các góc tọa độ.
c) Ta có \(\overline{z}=a-bi \)
\( \Rightarrow {{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \\ \Rightarrow {{z}^{2}}={{\left( \overline{z} \right)}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi={{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \\ \Leftrightarrow ab=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=0 \\ & b=0 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.
d) \(\dfrac{1}{z-i} \) là số ảo \(\Leftrightarrow z-i \) là số ảo và \(z\ne i\Leftrightarrow z \) là số ảo khác i.
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0;1)\) biểu diễn số i.