Giải bài 14 trang 191 SGK giải tích nâng cao 12
a) Cho số phức \(z=x+yi\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\). Khi \(z\ne i\), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\dfrac{z+i}{z-i}\).
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{z+i}{z-i}\) là số thực dương.
a) Ta có:
\(\begin{aligned} \dfrac{z+i}{z-i}&=\dfrac{x+yi+i}{x+yi-i} \\ & =\dfrac{\left[ x+\left( y+1 \right)i \right]\left[ x-\left( y-1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}i \\ \end{aligned} \)
Suy ra số phức có phần thực là \(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}},\) phần ảo là \(\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}} \).
b) \(\dfrac{z+i}{z-i}\) là số thực dương khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{aligned} & x=0 \\ & \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}>0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow {{y}^{2}}-1>0 \\ \Leftrightarrow {{y}^{2}}>1 \\ \Leftrightarrow \left| y \right|>1 \)
Vậy \(z=yi\), với y là số thực, \(\left| y \right|>1\).
Gọi I, J lần lượt là các điểm biểu thị số phức \(i\) và \(-i\) thì tập hợp cần tìm là các điểm nằm ngoài đoạn IJ.