Giải bài 10 trang 152 SGK giải tích nâng cao 12
Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_{-2}^{4}{\left( \dfrac{x}{2}+3 \right)dx};\) b) \(\int\limits_{-1}^{2}{\left| x \right|dx};\) c) \(\int\limits_{-3}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}\).
Hướng dẫn: Áp dụng định lí 1.
a) Xét hàm số \(y=\dfrac{x}{2}+3\) trên trục số Oxy.
Tích phân \(\int\limits_{-2}^{4}{\left( \dfrac{x}{2}+3 \right)dx}\) bằng diện tích hình thang vuông (phần tô đậm).
Do đó diện tích hình thang là: \(S=\left( 2+5 \right).\dfrac{6}{2}=21\)
\(\Rightarrow \int\limits_{-2}^{4}{\left( \dfrac{x}{2}+3 \right)dx}=21\)
b) Xét hàm số \(y=|x|\) trên trục số Oxy
Tích phân \(\int\limits_{-1}^{2}{\left| x \right|dx}\) bằng tổng diện tích hai tam giác (phần in đậm).
Do đó, diện tích cần tìm là \(S=2+0,5=2,5\)
\(\Rightarrow \int\limits_{-1}^{2}{\left| x \right|dx}=\dfrac{5}{2}\)
c) Xét hàm số \(y=\sqrt{9-x^2}\Leftrightarrow x^2+y^2=9 \,(y>0)\) trên trục số Oxy
Tích phân \(\int\limits_{-3}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}\) bằng diện tích nửa đường tròn \(x^2+y^2=9\) tâm O bán kính bằng 3
Do đó, diện tích đó là \(S=\dfrac{1}{2}.\pi .9=4,5\pi\)
Suy ra \(\int\limits_{-3}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}=4,5\pi \)