Giải bài 13 trang 153 SGK giải tích nâng cao 12
a) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right)\ge 0\) trên \(\left[ a,b \right]\) thì \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\ge 0\).
b) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right)\ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ a,b \right]\) thì \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\ge \int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}\).
a) Ta có \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\).
Do đó, \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\ge 0\).
b) Đặt \(h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)\ge 0 \) với mọi \(x\in[a;\,b]\)
Theo a) ta có
\(\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}\ge 0\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{c}^{b}{g\left( x \right)dx}\ge 0 \\ \Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\ge \int\limits_{c}^{b}{g\left( x \right)dx} \)