Giải bài 30 trang 206 SGK giải tích nâng cao 12
Gọi M, M' là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
\(z=3+i,z'=\left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i\)
a) Tính \(\dfrac{z'}{z}\).
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của \(z'\) với acgumen của \(z\) là số đo của góc lượng giác \(\left( OM,OM' \right)\). Tính số đo đó.
a) Ta có:
\(\begin{aligned} \dfrac{z'}{z}&=\dfrac{\left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i}{3+i} \\ & =\dfrac{\left[ \left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i \right]\left( 3-i \right)}{10} \\ & =\dfrac{9-3\sqrt{3}+1+3\sqrt{3}+i\left( 3+9\sqrt{3}-3+\sqrt{3} \right)}{10} \\ & =1+i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \)
b)
Ta có:
\(\begin{aligned} \text{sđ}\left( OM,OM' \right)& =\text{sđ}\left( Ox,OM' \right)-\text{sđ}\left( Ox,OM \right) \\ & =\varphi '-\varphi \\ & = \text{acgumen của} \dfrac{z'}{z} \,(\text{sai khác } k2\pi)\\ \end{aligned} \)
Trong đó \(\varphi\) là acgumen của \(z\), \(\varphi'\) là acgumen của \(z'\).
Mà \(\dfrac{z'}{z}=1+i\sqrt{3}=2\left(\cos\dfrac{\pi }{3}+i\sin\dfrac{\pi }{3}\right)\) có acgumen là \(\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Suy ra góc lượng giác của \(\left( OM,OM' \right)\) có số đo \(\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
Ghi nhớ:
Số phức \(z=a+bi\) có dạng lượng giác \(z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\), trong đó \(\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right. \)