Giải bài 35 trang 207 SGK giải tích nâng cao 12
Viết dạng lượng giác của số phức \(z\) và của các căn bậc hai của \(z\) cho mỗi trường hợp sau:
a) \(\left| z \right|=3\) và acgumen của \(iz\) là \(\dfrac{5\pi }{4}\);
b) \(\left| z \right|=\dfrac{1}{3}\) và acgumen của \(\dfrac{\overline{z}}{1+i}\) là \(-\dfrac{3\pi }{4}\).
a) Ta có \(\left| z \right|=3\Rightarrow r=3\).
\(i=\cos \dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2} \)
Gọi acgumen của \(z\) là \(\varphi\). Suy ra acgumen của \(iz\) là \(\dfrac{\pi }{2}+\varphi\).
Suy ra \(\dfrac{\pi }{2}+\varphi =\dfrac{5\pi }{4}\Leftrightarrow \varphi =\dfrac{3\pi }{4} \)
Vậy \(z=3\left( \cos \dfrac{3\pi }{4}+i\sin \dfrac{3\pi }{4} \right)\).
Lại có \(3\left( \cos \dfrac{3\pi }{4}+i\sin \dfrac{3\pi }{4} \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}{{\left( \cos \dfrac{3\pi }{8}+i\sin \dfrac{3\pi }{8} \right)}^{2}}\)
Suy ra hai căn bậc hai của \(z\) là \( \sqrt{3}\left( \cos \dfrac{3\pi }{8}+i\sin \dfrac{3\pi }{8} \right)\) và \(- \sqrt{3}\left( \cos \dfrac{3\pi }{8}+i\sin \dfrac{3\pi }{8} \right)= \sqrt{3}\left( \cos \dfrac{11\pi }{8}+i\sin \dfrac{11\pi }{8} \right)\).
b) Ta có \(\left| z \right|=\dfrac{1}{3}\Rightarrow r=\dfrac{1}{3}\).
\(1+i=\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2}\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right)\)
Gọi acgumen của \(z\) là \(\varphi\). Suy ra acgumen của \(\overline{z}\) là \(-\varphi\).
Suy ra acgumen của \(\dfrac{\overline{z}}{1+i}\) là \(-\varphi -\dfrac{\pi }{4}\)
Suy ra \(-\varphi -\dfrac{\pi }{4}=-\dfrac{3\pi }{4}\Leftrightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{2} \)
Vậy \(z=\dfrac{1}{3}\left( \cos \dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2} \right)\).
Lại có \(\dfrac{1}{3}\left( \cos \dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2} \right)={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}{{\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right)}^{2}} \)
Suy ra hai căn bậc hai của \(z\) là \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right) \) và \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right) =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( \cos \dfrac{5\pi }{4}+i\sin \dfrac{5\pi }{4} \right) \).
Ghi nhớ:
\(-\) Số phức \(z=a+bi\) có dạng lượng giác \(z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\), trong đó \(\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right. \)
\(- \) Công thức Moa-vrơ
\({{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)\)
\(-\) Số phức \(z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi),r>0\) có hai căn bậc hai là:
\(\sqrt r\left(\cos\dfrac{\varphi}{2}+i\sin\dfrac{\varphi}{2}\right)\) và \(-\sqrt r\left(\cos\dfrac{\varphi}{2}+i\sin\dfrac{\varphi}{2}\right)=\sqrt r \left[\cos\left(\dfrac{\varphi}{2}+\pi\right)+i\sin\left(\dfrac{\varphi}{2}+\pi\right)\right]\)