Giải bài 34 trang 207 SGK giải tích nâng cao 12
Cho số phức \({w}=-\dfrac{1}{2}\left( 1+i\sqrt{3} \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{{w}}^{n}}\) là số thực.
Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{{w}}^{m}}\) là số ảo?
Ta có
\({w}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{4\pi }{3}+i\sin \dfrac{4\pi }{3}\)
\(\begin{align}\Rightarrow {{{w}}^{n}}&={{\left( \cos \dfrac{4\pi }{3}+i\sin \dfrac{4\pi }{3} \right)}^{n}} \\ & =\cos \dfrac{4n\pi }{3}+i\sin \dfrac{4n\pi }{3} \end{align}\)
Để \(w^n\) là số thực \(\Leftrightarrow\sin \dfrac{4n\pi }{3}=0\Leftrightarrow \dfrac{4n\pi }{3}=k\pi \Leftrightarrow 4n=3k\)
Vậy n là tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 3.
Ta có
\({w}^{m}=\cos \dfrac{4m\pi }{3}+i\sin \dfrac{4m\pi }{3} \)
Để \(w^m\) là số ảo \(\Leftrightarrow\cos \dfrac{4m\pi }{3}=0\Leftrightarrow \dfrac{4m\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow 8m=6k+3\).
Do vế trái là một số chẵn nhưng vế phải là một số lẻ
Nên không tồn tại số m để \({{{w}}^{m}}\) là số ảo.
Ghi nhớ:
Số phức \(z=a+bi\) có dạng lượng giác \(z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\), trong đó \(\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right. \)
Công thức Moa-vrơ
\({{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)\)