Giải bài 31 trang 206 SGK giải tích nâng cao 12
Cho các số phức \({w}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1+i \right)\) và \(\varepsilon =\dfrac{1}{2}\left( -1+i\sqrt{3} \right)\).
a) Chứng minh rằng \({{z}_{0}}=\cos \dfrac{\pi }{12}+i\sin \dfrac{\pi }{12},{{z}_{1}}={{z}_{0}}\varepsilon ,{{z}_{2}}={{z}_{0}}{{\varepsilon }^{2}}\) là các nghiệm của phương trình \({{z}^{3}}-{w}=0\).
b) Biểu diễn hình học các số phức \({{z}_{0}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}.\)
a) Ta có:
\({w}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \\ \varepsilon =-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{2\pi }{3}+i\sin \dfrac{2\pi }{3} \\ \begin{aligned} {{\varepsilon }^{3}}&={{\left( \cos \dfrac{2\pi }{3}+i\sin \dfrac{2\pi }{3} \right)}^{3}} \\ & =\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1 \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} z_{0}^{3}&={{\left( \cos \dfrac{\pi }{12}+i\sin \dfrac{\pi }{12} \right)}^{3}} \\ & =\cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4}={w} \\ \end{aligned} \)
\(\Rightarrow z_{0}^{3}-\text{w}=0\) hay \(z_0\) là một nghiệm của phương trình \({{z}^{3}}-{w}=0\).
\(z_{1}^{3}={{\left( {{z}_{0}}\varepsilon \right)}^{3}}=z_{0}^{3}.{{\varepsilon }^{3}}={w}.1={w}\)
\(\Rightarrow z_{1}^{3}-{w}=0\) hay \(z_1\) là một nghiệm của phương trình \({{z}^{3}}-{w}=0\).
\(z_{2}^{3}={{\left( {{z}_{0}}{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{3}}=z_{0}^{3}.{{\varepsilon }^{6}}={w}{{.1}^{2}}={w} \)
\(\Rightarrow z_{2}^{3}-{w}=0\) hay \(z_2\) là một nghiệm của phương trình \({{z}^{3}}-{w}=0\).
b) Ta có:
\(\begin{aligned} {{z}_{1}}={{z}_{0}}\varepsilon& =\cos \left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right)+i\sin \left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right) \\ & =\cos \dfrac{3\pi }{4}+i\sin \dfrac{3\pi }{4} \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} {{\varepsilon }^{2}} &={{\left( \cos \dfrac{2\pi }{3}+i\sin \dfrac{2\pi }{3} \right)}^{2}} \\ & =\cos \dfrac{4\pi }{3}+i\sin \dfrac{4\pi }{3} \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} {{z}_{2}}={{z}_{0}}{{\varepsilon }^{2}}&=\cos \left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right)+i\sin \left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right) \\ & =\cos \left( \dfrac{17\pi }{12} \right)+i\sin \left( \dfrac{17\pi }{12} \right) \\ \end{aligned} \)
Biểu diễn các số phức \({{z}_{0}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}\) trên đường tròn lượng giác ta được
Ghi nhớ
Số phức \(z=a+bi\) có dạng lượng giác \(z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\), trong đó \(\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right. \)
Nếu \(z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ z'=r'\left( \cos \varphi '+i\sin \varphi ' \right)\,\left( r\ge 0,r'\ge 0 \right) \)
thì \(zz'=rr'\left[ \cos \left( \varphi +\varphi ' \right)+i\sin \left( \varphi +\varphi ' \right) \right] \)
Công thức Moa-vrơ
\({{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)\)