Giải bài 43 trang 97 SGK giải tích nâng cao 12
Biểu diễn các số sau đây theo \(a=\ln 2,b=\ln 5 \).
\(\ln 500;\ln \dfrac{16}{25};\ln 6,25;\ln \dfrac{1}{2}+\ln \dfrac{2}{3}+...+\ln \dfrac{98}{99}+\ln \dfrac{99}{100}\)
Hướng dẫn: Viết các số dưới dạng các lũy thừa của 2 và 5 sau đó áp dụng:
\({{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, {{\log }_{a}}\left( {{b}^{\alpha }} \right)=\alpha {{\log }_{a}}b\)
\(\begin{align} & \ln 500=\ln \left( {{5}^{3}}{{.2}^{2}} \right)=\ln {{5}^{3}}+\ln {{2}^{2}}=3\ln 5+2\ln2=3b+2a \\ & \ln \dfrac{16}{25}=\ln {{2}^{4}}-\ln {{5}^{2}}=4\ln 2-2\ln 5=4a-2b \\ & \ln 6,25=\ln \left( \dfrac{25}{4} \right)=\ln {{5}^{2}}-\ln {{2}^{2}}=2b-2a \\ & \ln \dfrac{1}{2}+\ln \dfrac{2}{3}+...+\ln \dfrac{98}{99}+\ln \dfrac{99}{100} \\ & =-\ln 2+\ln 2-\ln 3+....+\ln 98-\ln 99+\ln 99-\ln 100 \\ & =-\ln 100=-\ln \left( {{2}^{2}}{{.5}^{2}} \right)=-2\ln 2-2\ln 5=-2a-2b \\ \end{align} \)
Chú ý: \(\ln a\) chính là \(\log_e a\).