Giải bài 35 trang 35 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
| \(a)\,y=\dfrac{2x-1}{x^2}+x-3\\ c)\,y=\dfrac{x^3+x+1}{x^2-1}\) | \(b)\,y=\dfrac{x^3+2}{x^2-2x}\\ d)\,y=\dfrac{x^2+x+1}{-5x^2-2x+3}\) |
Lý thuyết:
Đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\)
Đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=-\infty \\ \end{align}\)
Đường thẳng \(y =ax+b\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu
\(\lim\limits_{x\to +\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\)
a) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Vì \(\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,\,y=\lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,\,y=-\infty\) nên \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left[ y-\left( x-3 \right) \right]=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\dfrac{2x-1}{{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( \dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0\) nên \(y=x-3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;2 \right\}\)
Vì \(\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=+\infty \) nên \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị
\(\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=+\infty \) nên \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Lại có: \(y=\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}+2x}=\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+2x}=x-\dfrac{2{{x}^{2}}-2}{{{x}^{2}}+2x}\)
Nên
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( y-x \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( -\dfrac{2{{x}^{2}}-x}{{{x}^{2}}+2x} \right)=-2 \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( y-x+2 \right)=0 \\ \end{align}\)
Vậy đường thẳng \(y=x-2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
c)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1 \right\}\)
Vậy \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vậy \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị
Ta có: \(y=\dfrac{{{x}^{3}}+x+1}{{{x}^{2}}-1}=\dfrac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-1+x+2}{{{x}^{2}}-1}=x+1+\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}-1}\)
Vậy đường thẳng \(y=x+1\) là tiệm cận xiên
d)
\(y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( 3-5x \right)\left( x+1 \right)}\\ \)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{3}{5};-1 \right\}\)
Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,y=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{-5-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}}=-\dfrac{1}{5}\)
Vậy \(y=-\dfrac{1}{5}\) là tiệm cận ngang
Ta có:
\( \begin{align} & \lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( 3-5x \right)\left( x+1 \right)}=-\infty \\ & \lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( 3-5x \right)\left( x+1 \right)}=+\infty \\ \end{align}\)
Nên \(x=-1\) là tiệm cận đứng
Nên \(x=\dfrac{3}{5}\) là tiệm cận đứng.