Giải bài 37 trang 36 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
| \(a)\,y=x+\sqrt{x^2-1}\\ c)\,y=\sqrt{x^2+4}\) | \(b)\,y=\sqrt{x^2-4x+3}\\ d)\,y=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-1}\) |
Lý thuyết:
Đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\)
Đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=-\infty \\ \end{align}\)
Đường thẳng \(y =ax+b\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu
\(\lim\limits_{x\to +\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\)
a)
TXĐ: \(D=\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)\)
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}-2x \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x \right) \\ & =\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x}=0 \\ \end{align}\)
Vậy \(y=2x\) là tiệm cận xiên
Vậy \(y=0\) là tiệm cận ngang.
b)
TXĐ: \(D=\left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 3;+\infty \right)\)
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}-x \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{-4x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}+x}=-\dfrac{4}{2}=-2 \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}-x+2 \right)=0 \\ \end{align}\)
Vậy \(y=x-2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}+x \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\dfrac{-4x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}-x}=\dfrac{-4}{-2}=2 \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}+x-2 \right)=0 \\ \end{align}\)
Vậy \(y=-x+2\) là tiệm cận xiên
c)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Nên \(y=x\) là tiệm cận xiên
Nên \(y=-x\) là tiệm cận xiên
d)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1 \right\}\)
Vậy \(y=1\) là tiệm cận ngang.
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=-\infty \\ \end{align}\)
Nên \(x=1 \) là tiệm cận đứng
\( \begin{align} & \lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=-\infty \\ & \lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=+\infty \\ \end{align}\)
Nên \(x=-1\) là tiệm cận đứng