Giải bài 36 trang 36 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
| \(a)\,y=\sqrt{x^2-1}\\ c)\,y=x+\sqrt{x^2+1}\) | \(b)\,y=2x+\sqrt{x^2-1}\\ d)\,y=\sqrt{x^2+x+1}\) |
Lý thuyết:
Đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\)
Đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=-\infty \\ \end{align}\)
Đường thẳng \(y =ax+b\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu
\(\lim\limits_{x\to +\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\)
a)
TXĐ: \(D=\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)\)
Vậy đường thẳng \(y=x\) là tiệm cận xiên
Vậy đường thẳng \(y=-x\) là tiệm cận xiên
b)
TXĐ: \(D=\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)\)
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to +\infty }\,\,\left( 2x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}-3x \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x \right) \\ & =\lim\limits_{x\to +\infty }\,\,\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x}=0 \\ \end{align}\)
Vậy đường thẳng \(y=3x\) là tiệm cận xiên
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -\infty }\,\,\left( 2x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}-x \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-1}+x \right) \\ & =\lim\limits_{x\to -\infty }\,\,\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}-x}=0 \\ \end{align}\)
Vậy đường thẳng \(y=x\) là tiệm cận xiên.
c)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có:
Vậy \(y=2x\) là tiệm cận xiên
Vậy \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
d)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to +\infty }\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\,\left( \dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+x} \right)=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to +\infty }\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x-\dfrac{1}{2} \right)=0 \\ \end{align}\)
Vậy \(y=x+\dfrac{1}{2}\) là tiệm cận xiên
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -\infty }\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+x \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\,\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x}=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\,\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-1}=-\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to -\infty }\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+x+\dfrac{1}{2} \right)=0 \\ \end{align}\)
Vậy \(y=-x-\dfrac{1}{2} \) là tiệm cận xiên