Giải bài 38 trang 36 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị (C) của hàm số
\(y=\dfrac{x^2-2x+2}{x-3}\)
b) Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI}\)
c) Viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY.
Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (C)
Lý thuyết:
Đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=-\infty \\ \end{align}\)
Đường thẳng \(y =ax+b\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu
\(\lim\limits_{x\to +\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Ta có:
Vậy \(x=3\) là tiệm cận đứng.
Ta có:
Vậy đường thẳng \(y=x+1\) là tiệm cận xiên.
b)
Tọa độ giao điểm: \(I(3;4)\)
Công thức chuyển hệ tọa độ theo phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow{OI}=\left( 3;4 \right)\) là: \(\left\{ \begin{align} & x=X+3 \\ & y=Y+4 \\ \end{align} \right.\)
c)
Phương trình đường cong (C) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(\begin{align} & Y+4=X+3+1+\dfrac{5}{X+3-3} \\ & \Leftrightarrow Y=X+\dfrac{5}{X} \\ \end{align}\)
Vì hàm số \(Y=X+\dfrac{5}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận \(I\) là tâm đối xứng.