Giải bài 55 trang 50 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=x-\dfrac 2 {x-1}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm \((3;3)\)
Giới hạn:
\(\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=-\infty\) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-x \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( -\dfrac{2}{x-1} \right)=0\) nên \(y=x\) là tiệm cận xiên
Biến thiên
Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \( \left( -\infty ;1 \right) \) và \(\left( 1;+\infty \right)\)
Đồ thị:
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((1;-1)\) và \((0;2)\)
Đồ thị nhận điểm \(I (1;1)\) là tâm đối xứng
b)
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị là \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là
\( \begin{align} & y=\left[ 1+\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right]\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}} \\ & \Leftrightarrow y=\left[ 1+\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right]\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{x}_{0}}-\dfrac{2}{{{x}_{0}}-1} \\ \end{align}\)
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \((3;3)\) nên ta có:
\(\begin{align} & 3=\left[ 1+\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right]\left( 3-{{x}_{0}} \right)+{{x}_{0}}-\dfrac{2}{{{x}_{0}}-1} \\ & \Leftrightarrow 3{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=\left[ {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+2 \right]\left( 3-{{x}_{0}} \right)+{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}-2\left( {{x}_{0}}-1 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=0 \\ \end{align}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng \(y=3x-6\)