Giải bài 12 trang 93 – SGK môn Hình học lớp 12
Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm \(A\left( 1;-2;-5 \right)\) qua đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=1+2t \\ & y=-1-t \\ & z=2t \\ \end{aligned} \right. \)
Hướng dẫn:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với \(\Delta \).
Bước 2: Giao điểm của \(\Delta \) và (P) là hình chiếu H của A trên \(\Delta \).
Bước 3: A' là điểm đối xứng với A khi và chỉ khi H là trung điểm của AA'.
Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;-1;2 \right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với \(\Delta \) là
\(2\left( x-1 \right)-\left( y+2 \right)+2\left( z+5 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 2x-y+2z+6=0 \)
Lấy \(H\left( 1+2t;-1-t;2t \right)\in \Delta\) là hình chiếu của A trên \(\Delta \), vì \(H\in (P)\) nên
\(2\left( 1+2t \right)-\left( -1-t \right)+2\left( 2t \right)+6=0 \\ \Leftrightarrow 9t+9=0 \\ \Leftrightarrow t=-1 \\ \Rightarrow H=\left( -1;0;-2 \right) \)
Tọa độ điểm A' là
\(\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{A'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=-3 \\ & {{y}_{A'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}}=2 \\ & {{z}_{A'}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow A'\left( -3;2;1 \right) \)