Giải bài 7 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho điểm \(A\left( -1;2;-3 \right)\), vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 6;-2;-3 \right)\) và đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=1+3t \\ & y=-1+2t \\ & z=3-5t \\ \end{aligned} \right. \)
a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa điểm A và vuông góc với giá của \(\overrightarrow{a}\).
b) Tìm giao điểm M của d và \(\left( \alpha \right)\).
c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A, vuông góc với giá của \(\overrightarrow{a}\) và cắt đường thẳng d.
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa điểm A và vuông góc với giá của \(\overrightarrow{a}\) có phương trình
\(6\left( x+1 \right)-2\left( y-2 \right)-3\left( z+3 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 6x-2y-3z+1=0 \)
b) Lấy \(M\left( 1+3t;-1+2t;3-5t \right)\in d\), vì \(M\in \left( \alpha \right)\) nên
\(6\left( 1+3t \right)-2\left( -1+2t \right)-3\left( 3-5t \right)+1=0 \\ \Leftrightarrow 29t=0 \\ \Leftrightarrow t=0 \\ \Rightarrow M\left( 1;-1;3 \right) \)
c) Lấy \(N\left( 1+3t;-1+2t;3-5t \right)\in d \)
Vì \(\Delta\) đi qua A và vuông góc với giá của \(\overrightarrow{a}\) nên \(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{a}=0\)
Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{AN}=\left( 3t+2;2t-3;-5t+6 \right)\)
\(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{a}=0 \\ \Leftrightarrow 6\left( 3t+2 \right)-2\left( 2t-3 \right)-3\left( -5t+6 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 29t=0 \\ \Leftrightarrow t=0 \\ \Rightarrow N\equiv M=\left( 1;-1;3 \right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AN}=\left( 2;-3;6 \right) \)
Phương trình tham số của \(\Delta\) có dạng \(\left\{ \begin{aligned} & x=-1+2t \\ & y=2-3t \\ & z=-3+6t \\ \end{aligned} \right. \)
Ghi nhớ:
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) thì \(\overrightarrow{a}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)
Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta lấy tọa độ của điểm trên đường thẳng theo tham số rồi thay vào phương trình mặt phẳng.