Giải bài 3 trang 99 – SGK Hình học lớp 10

a) Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Ta có
\(\begin{aligned} & \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM} \\ & \begin{aligned} {{\overrightarrow{MA}}^{2}}&={{\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM} \right)}^{2}} \\ & ={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OM}}^{2}}-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM} \\ \end{aligned} \\ & \Rightarrow M{{A}^{2}}=2{{R}^{2}}-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\,\left( 1 \right) \\ \end{aligned}\)
Tương tự:
\(\begin{aligned} & M{{B}^{2}}=2{{R}^{2}}-2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OM}\,\left( 2 \right) \\ & M{{C}^{2}}=2{{R}^{2}}-2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OM}\,\left( 3 \right) \\ \end{aligned}\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=6{{R}^{2}}-2\overrightarrow{OM}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)\)
Tam giác ABC đều nội tiếp (O) nên O cũng là trọng tâm tam giác nên \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.\)
\(\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=6{{R}^{2}}\)
Vì đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a nên \(a=R\sqrt{3}\Rightarrow 6{{R}^{2}}=2{{\left( R\sqrt{3} \right)}^{2}}=2{{a}^{2}}.\)
Vậy \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\).
b) Ta có:
\(\begin{aligned} & \overrightarrow{NA}= \overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OA} \\ & \Rightarrow {{\overrightarrow{NA}}^{2}}={{\overrightarrow{NO}}^{2}}+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OA}+{{\overrightarrow{OA}}^{2}} \\ \end{aligned}\)
Tương tự:
\(\begin{aligned} & {{\overrightarrow{NB}}^{2}}={{\overrightarrow{NO}}^{2}}+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OB}+ {{\overrightarrow{OB}}^{2}} \\ & {{\overrightarrow{NC}}^{2}}={{\overrightarrow{NO}}^{2}}+ 2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OC}+{{\overrightarrow{OC}}^{2}} \\ & \Rightarrow N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}=3N{{O}^{2}}+2\overrightarrow{NO}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)+O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}} \\ \end{aligned}\)
Vì O là trọng tâm tam giác ABC (theo câu a)

 \(\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)

Mà \(OA=OB=OC=R\)

\(\begin{aligned} & \begin{aligned} \Rightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+ O{{C}^{2}}&=3O{{A}^{2}} \\ & =3.{{\left( \dfrac{2}{3}. \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\ \end{aligned} \\ & \Rightarrow N{{A}^{2}} +N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}={{a}^{2}}+3N{{O}^{2}} \\ \end{aligned}\)
Vì \(a^2\) là số không đổi nên tổng \(N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}+NC^2\) nhỏ nhất khi NO đạt giá trị nhỏ nhất. Vì NO là khoảng cách từ O đến điểm N thuộc đường thẳng d nên NO nhỏ nhất khi \(NO⊥d \) hay N là hình chiếu của trọng tâm O trên đường thẳng d.

Ghi nhớ: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì  \( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).

Với điểm M bất kì, ta có \( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).