Giải bài 8 trang 99 – SGK Hình học lớp 10

Phương pháp:

- Gọi tọa độ tâm của đường tròn.

- Từ giả thiết tiếp xúc với hai đường thẳng \(d_1:x+y+4=0\) và \(d_2:7x–y+4=0\) lập phương trình.

- Giải phương trình tìm tọa độ tâm.

Gọi I là tâm đường tròn (C), bán kính R.

Do \(I\in \Delta \Rightarrow I\left( a;\dfrac{2-4a}{3} \right)\)
Do (C) tiếp xúc với hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) nên

\(\begin{aligned} & d\left( I;{{d}_{1}} \right)=d\left( I;{{d}_{2}} \right)=R \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\left| a+\dfrac{2-4a}{3}+4 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| 7a-\dfrac{2-4a}{3}+4 \right|}{5\sqrt{2}} \\ & \Leftrightarrow 5\left| 14-a \right|=\left| 25a+10 \right| \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 5\left( 14-a \right)=25a+10 \\ & 5\left( 14-a \right)=-\left( 25a+10 \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 30a=60 \\ & 20a=-80 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=2 \\ & a=-4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Với \(a=2\Rightarrow I\left( 2;-2 \right),R=2\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=8\)

Với \(a=-4\Rightarrow I\left( -4;6 \right),R=3\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn có dạng \({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=18\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn điều kiện đề bài.