Giải bài 7 trang 99 – SGK Hình học lớp 10
Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng AB, BH và AH lần lượt là: \(4x+y-12=0,5x-4y-15=0\) và \(2x+2y-9=0\). Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Tìm tọa độ các điểm A, B, H dựa vào tính chất: "Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia để tìm vectơ chỉ phương của AC, BC, CH."
Từ đó viết phương trình tham số của các đường thẳng cần tìm.
Giao điểm A của AB và AH là nghiệm của phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 4x+y-12=0 \\ & 2x+2y-9=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{5}{2} \\ & y=2 \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra tọa độ của A là \(A\left( \dfrac{5}{2};2 \right)\)
Giao điểm B của AB và BH là nghiệm của phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 4x+y-12=0 \\ & 2x+2y-9=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{5}{2} \\ & y=2 \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra tọa độ của A là \(A\left( \dfrac{5}{2};2 \right)\)
Giao điểm B của AB và BH là nghiệm của phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 4x+y-12=0 \\ & 5x-4y-15=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=3 \\ & y=0 \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra tọa độ của B là \(B\left( 3;0 \right)\)
Suy ra tọa độ của B là \(B\left( 3;0 \right)\)
Giao điểm H của AH và BH là nghiệm của phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 2x+2y-9=0 \\ & 5x-4y-15=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{11}{3} \\ & y=\dfrac{5}{6} \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra tọa độ của H là \(H\left( \dfrac{11}{3};\dfrac{5}{6} \right)\)
Ta có \(AC\bot BH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AC}}}=\overrightarrow{{{n}_{BH}}}=\left( 5;-4 \right)\)
Đường thẳng AC qua \(A\left( \dfrac{5}{2};2 \right)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 5;-4 \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{5}{2}+5t \\ & y=2-4t \\ \end{aligned} \right.\)
Tương tự \(BC\bot AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\overrightarrow{{{n}_{AH}}}=\left( 2;2 \right)=2\left( 1;1 \right)\)
Đường thẳng BC qua \(B\left( 3;0 \right)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 1;1 \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=3+t \\ & y=t \\ \end{aligned} \right.\)
+) \(CH\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{CH}}}=\overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 4;1 \right)\)
Đường thẳng CH qua \(H\left( \dfrac{11}{3};\dfrac{5}{6} \right)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 4;1 \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{11}{3}+4t \\ & y=\dfrac{5}{6}+t \\ \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} & 2x+2y-9=0 \\ & 5x-4y-15=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{11}{3} \\ & y=\dfrac{5}{6} \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra tọa độ của H là \(H\left( \dfrac{11}{3};\dfrac{5}{6} \right)\)
Ta có \(AC\bot BH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AC}}}=\overrightarrow{{{n}_{BH}}}=\left( 5;-4 \right)\)
Đường thẳng AC qua \(A\left( \dfrac{5}{2};2 \right)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 5;-4 \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{5}{2}+5t \\ & y=2-4t \\ \end{aligned} \right.\)
Tương tự \(BC\bot AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\overrightarrow{{{n}_{AH}}}=\left( 2;2 \right)=2\left( 1;1 \right)\)
Đường thẳng BC qua \(B\left( 3;0 \right)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 1;1 \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=3+t \\ & y=t \\ \end{aligned} \right.\)
+) \(CH\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{CH}}}=\overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 4;1 \right)\)
Đường thẳng CH qua \(H\left( \dfrac{11}{3};\dfrac{5}{6} \right)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 4;1 \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{11}{3}+4t \\ & y=\dfrac{5}{6}+t \\ \end{aligned} \right.\)
Tham khảo lời giải các bài tập Ôn tập cuối năm khác
Giải bài 1 trang 98 – SGK Hình học lớp 10 Cho hai...
Giải bài 2 trang 98 – SGK Hình học lớp 10 Cho tam giác ABC có hai...
Giải bài 3 trang 99 – SGK Hình học lớp 10 Cho tam giác đều ABC...
Giải bài 4 trang 99 – SGK Hình học lớp 10 Cho tam giác ABC đều có...
Giải bài 5 trang 99 – SGK Hình học lớp 10 Chứng minh rằng trong...
Giải bài 6 trang 99 – SGK Hình học lớp 10 Cho các...
Giải bài 7 trang 99 – SGK Hình học lớp 10 Cho tam giác ABC với H là...
Giải bài 8 trang 99 – SGK Hình học lớp 10 Lập phương trình...
Giải bài 9 trang 99 – SGK Hình học lớp 10 Cho elip (E) có phương...
Mục lục Hình học 10 theo chương
Chương 1: Vectơ
Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
+ Mở rộng xem đầy đủ