Giải bài 9 trang 99 – SGK Hình học lớp 10
Cho elip (E) có phương trình: \(\dfrac{{{x}^{2}}}{100}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1\)
a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó
b) Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Ta có
\({{a}^{2}}=100\Rightarrow a=10 \\ {{b}^{2}}=36\Rightarrow b=6 .\\ {{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=100-36=64\Rightarrow c=8 \)
Suy ra tọa độ các đỉnh của elip \({{A}_{1}}\left( -10;0 \right),{{A}_{2}}\left( 10;0 \right),{{B}_{1}}\left( 0;6 \right),{{B}_{2}}\left( 0;-6 \right)\)
Tọa độ tiêu điểm: \({{F}_{1}}\left( -8;0 \right),{{F}_{2}}\left( 8;0 \right).\)
b) Đường thẳng Δ đi qua tiêu điểm \(F_2(8;0)\) của elip \(\dfrac{{{x}^{2}}}{100}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1\) và vuông góc với trục lớn của phương trình: \(x–8=0\).
\(Δ\) cắt (E) tại hai điểm M và N có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x-8=0 \\ & \dfrac{{{x}^{2}}}{100}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=8 \\ & 1+\dfrac{36}{100}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=8 \\ & y=\pm \dfrac{36}{10} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(M\left( 8;\dfrac{36}{10} \right) \) và \(N\left( 8;-\dfrac{36}{10} \right).\)
Vậy độ dài đoạn thẳng \(MN=\dfrac{2.36}{10}=7,2\,\left( cm \right) \).