Giải bài 4 trang 99 – SGK Hình học lớp 10
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng \(6cm.\) Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho \(BM=2cm\)
a) Tính độ dài của đoạn thẳng AM và tính cosin của góc BAM
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM.
c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ C của tam giác ACM.
d) Tính diện tích tam giác ABM.
a) Ta có:
\( \begin{aligned} +) A{{M}^{2}}&=B{{A}^{2}}+B{{M}^{2}}-2BA.BM.cos\widehat{ABM} \\ & =36+4-2.6.2.\dfrac{1}{2} \\ & =28 \\ \end{aligned} \\ \Rightarrow AM=2\sqrt{7}\,\left( cm \right)\\ \begin{aligned} +) \cos \widehat{BAM}&=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}-B{{M}^{2}}}{2.AB.AM} \\ & =\dfrac{36+28-16}{2.6.2\sqrt{7}} \\ & =\dfrac{5\sqrt{7}}{14} \\ \end{aligned} \)
b) Trong tam giác ABM, theo định lí sin, ta có \(\dfrac{AM}{\sin \widehat{ABM}}=2R\)
\(\Leftrightarrow R=\dfrac{AM}{2\sin \widehat{ABM}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{2.\sin {{60}^{o}}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\,\left( cm \right)\)
c) Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\( \begin{aligned} C{{P}^{2}}&=\dfrac{2\left( C{{A}^{2}}+C{{M}^{2}} \right)-A{{M}^{2}}}{4} \\ & =\dfrac{2\left( 36+16 \right)-28}{4} \\ & =19 \\ \end{aligned} \\ \Rightarrow CP=\sqrt{19}\,\left( cm \right)\)
d) Diện tích tam giác ABM là:
\(S=\dfrac{1}{2}BA.BM.\sin \widehat{ABM}=\dfrac{1}{2}.6.2.sin{{60}^{o}}=3\sqrt{3}\,\left( c{{m}^{2}} \right)\)
Ghi nhớ:
Định lí côsin: Trong tam giác ABC bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\), ta có:
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)