Giải bài 4 trang 25 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho khối chóp \(S.ABC\). Trên các đoạn thằng \(SA, SB, SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A',B',C'\) khác với \(S\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\)
Hướng dẫn:
Bước 1: Dựng hai đường cao của hai hình chóp và dùng định lí Ta-let biểu thị quan hệ của hai đường cao.
Bước 2: Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng 1 phần 2 tích của 2 cạnh kề nhân với sin của góc được tạo bởi 2 cạnh đó để tính diện tích hai đáy.
Bước 3: Dùng công thức tính thể tích suy ra điều phải chứng minh.
Gọi H và H' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' trên (SBC).
Khi đó, S, H', H thẳng hàng (vì chúng là hình chiếu của 3 điểm thẳng hàng trên cùng 1 mặt phẳng).
Vì \(A'H'//AH\) nên \(\dfrac{AH'}{AH}=\dfrac{SA'}{SA}\).
Ta có: \(\dfrac{{{S}_{SB'C'}}}{{{S}_{SBC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}SB'.SC'.\sin \widehat{B'SC'}}{\dfrac{1}{2}SB.SC.\sin\widehat{BSC}}=\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\)
Suy ra \(\dfrac{{{V}_{SA'B'C'}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}{{S}_{SB'C'}}.AH'}{\dfrac{1}{3}{{S}_{SBC}}.AH}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\).