Giải bài 5 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho tam giác ABC, vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C, vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắ BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Hướng dẫn:
Vận dụng kết quả của bài tập 4 \(\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\)
Ta có: \(\left. \begin{align} & BA\bot AC \\ & BA\bot CD \\ \end{align} \right\}\Rightarrow BA\bot \left( ACD \right)\Rightarrow BA\bot EC \)
Mặt khác \(BD\bot \left( CEF \right)\Rightarrow BD\bot CE \)
Từ đó suy ra \( \left. \begin{align} & EC\bot BA \\ & EC\bot BD \\ \end{align} \right\}\Rightarrow EC\bot \left( BAD \right)\Rightarrow EC\bot AD \)
Tam giác ACD vuông cân cạnh a nên \(AD=a\sqrt{2};\,DE=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \)
Ta có: \(BC=a\sqrt{2},\,BD=\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\)
\(\cos \widehat{BDC}=\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{FD}{DC}\Rightarrow FD=\dfrac{D{{C}^{2}}}{BD}=\dfrac{{{a}^{2}}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng kết quả của bài tập 4 ta được
\(\dfrac{{{V}_{DCEF}}}{{{V}_{DCAB}}}=\dfrac{DC}{DC}.\dfrac{DE}{DA}.\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{a}{a}.\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}}.\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{6} \\ \Rightarrow {{V}_{DCEF}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{DCAB}}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{36} \)
Chú ý: Kết quả bài tập 4 chỉ đúng với hình chóp tam giác.