Giải bài 6 trang 50 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho \(OS = \dfrac{a}{2}\) . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Lấy M là trung điểm của SD. Kẻ đường trung trực của SD cắt SO tại I.
Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp.
Ta có \(OD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Trong tam giác vuông SOD có
\(SD=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};SM=\dfrac{SD}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
\( \left\{ \begin{align} & \widehat{ISD}\,chung \\ & \widehat{SOD}=\widehat{SMD}={{90}^{o}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta SOD\sim \Delta SMI \\ \Rightarrow \dfrac{SO}{SM}=\dfrac{SD}{SI}\\ \Rightarrow SI=\dfrac{SM.SD}{SO}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2}{a}=\dfrac{3a}{4} \)
Diện tích của mặt cầu là
\( S=4\pi {{r}^{2}}=4.\pi .{{\left( \dfrac{3a}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{9\pi {{a}^{2}}}{4}\)
Thể tích của khối cầu là
\(V=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{3}=\dfrac{4\pi }{3}.{{\left( \dfrac{3a}{4} \right)}^{3}}=\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{16} \)
Ghi nhớ: Cho hình cầu tâm O, bán kính R.
Diện tích của mặt cầu là \(S=4\pi R^2\).
Thể tích của mặt cầu là \(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3\).