Giải bài 3 trang 130 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho \(8.\)
Hướng dẫn:
Gọi dạng tổng quát của hai số lẻ bất kì
Dùng hằng đẳng thức tính hiệu bình phương hai số.
Rút gọn rồi chứng minh biểu thức đó chia hết cho 8
Gọi hai số lẻ bất kì là \(2a + 1\) và \(2b + 1 \,\,(a,\, b \in \mathbb Z)\)
Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng:
\((2a + 1)^2 - (2b + 1)^2 \\ = (4a^2 + 4a + 1) - (4b^2 + 4b + 1) \\ = 4a^2 + 4a + 1 - 4b^2 - 4b - 1 \\ = 4a^2 + 4a - 4b^2 - 4b \\ = 4a(a + 1) - 4b(b + 1)\)
Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho \(2\) nên \(a(a+1)\) và \(b(b+1)\) chia hết cho \(2.\)
Do đó \(4a(a + 1)\) và \(4b(b + 1)\) chia hết cho \(8\)
\(4a(a + 1) – 4b(b + 1)\) chia hết cho \(8\)
Vậy \((2a + 1)^2 - (2b + 1)^2\) chia hết cho \(8\)