Giải bài 3 trang 155 – SGK môn Đại số lớp 10
Tính
a) \(\sin \alpha\) , nếu \(\cos \alpha =-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) và \(\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi .\)
b) \(\cos \alpha \), nếu \(\tan \alpha =2\sqrt{2}\) và \(\pi <\alpha <\dfrac{3\pi }{2}.\)
c) \( \tan \alpha\) , nếu \(\sin \alpha =-\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi \).
d) \(\cot \alpha \), nếu \(\cos \alpha =-\dfrac{1}{4}\) và \(\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi .\)
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:
\(\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1\)
\(1+\tan ^2 \alpha=\dfrac 1 {\cos^2 \alpha}\\ 1+\cot ^2 \alpha=\dfrac 1 {\sin^2 \alpha}\)
a) Ta có:
\(\begin{align} & {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \\ & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha +{{\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}=1 \\ & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\dfrac{7}{9} \\ & \Leftrightarrow \sin \alpha =\pm \dfrac{\sqrt{7}}{3} \\ \end{align}\)
Do \(\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi \) nên \(\sin \alpha >0\). Vậy \(\sin\alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{3}.\)
b) Ta có:
\(\begin{align} & 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha } \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=1+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{9} \\ & \Leftrightarrow \cos \alpha =\pm \dfrac{1}{3} \\ \end{align}\)
Do \(\pi <\alpha <\dfrac{3\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha <0\). Vậy \(\cos \alpha =-\dfrac{1}{3}.\)
c) Ta có:
\(\begin{align} & {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \\ & \Leftrightarrow {{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}=1 \\ & \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{5}{9} \\ & \Leftrightarrow \cos \alpha =\pm \dfrac{\sqrt{5}}{3} \\ \end{align}\)
Do \(\dfrac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi\) nên \(\cos \alpha >0\). Vậy \(\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3}.\)
Suy ra \( \tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\dfrac{2}{3}:\dfrac{\sqrt{5}}{3}=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5} .\)
d) Ta có:
\(\begin{align} & {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \\ & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha +{{\left( -\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}=1 \\ & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\dfrac{15}{16} \\ & \Leftrightarrow \sin \alpha =\pm \dfrac{\sqrt{15}}{4} \\ \end{align}\)
Do \(\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi \) nên \(\sin \alpha >0\). Vậy \(\sin\alpha =\dfrac{\sqrt{15}}{4}\).
Suy ra \(\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=-\dfrac{1}{4}:\dfrac{\sqrt{15}}{4}=-\dfrac{\sqrt{15}}{15}. \)