Giải bài 7 trang 156 – SGK môn Đại số lớp 10

Chứng minh các đồng nhất thức

a) \(\dfrac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}=\cot x; \)

b) \(\dfrac{\sin x+\sin \dfrac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \dfrac{x}{2}}=\tan \dfrac{x}{2};\)

c) \( \dfrac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x}={{\tan }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-x \right); \)

d) \( \tan x-\tan y=\dfrac{\sin \left( x-y \right)}{\cos x\cos y}.\)

Lời giải:

Gợi ý:
Xem lại các công thức lượng giác cơ bản.

a) \(\dfrac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}=\cot x \)

Ta có

\( \begin{align} VT & =\dfrac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x} \\ & =\dfrac{1-\cos x+2{{\cos }^{2}}x-1}{2\sin x\cos x-\sin x} \\ & =\dfrac{\cos x\left( 2\cos x-1 \right)}{\sin x\left( 2\cos x-1 \right)} \\ & =\cot x=VP \\ \end{align}\)

b) \(\dfrac{\sin x+\sin \dfrac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \dfrac{x}{2}}=\tan \dfrac{x}{2}\)

Ta có

\( \begin{align} VT& =\dfrac{\sin x+\sin \dfrac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}}{1+2{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}-1+\cos \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}\left( 2\cos \dfrac{x}{2}+1 \right)}{\cos \dfrac{x}{2}\left( 2\cos \dfrac{x}{2}+1 \right)} \\ & =\tan \dfrac{x}{2}=VP \\ \end{align} \)

c) \( \dfrac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x}={{\tan }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-x \right) \)

Ta có

\( \begin{align} VT& =\dfrac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x} \\ & =\dfrac{2\cos 2x-2\sin 2x\cos 2x}{2\cos 2x+2\sin 2x\cos 2x} \\ & =\dfrac{2\cos 2x\left( 1-\sin 2x \right)}{2\cos 2x\left( 1+\sin 2x \right)} \\ & =\dfrac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x} \\ & =\dfrac{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}}{{{\left( \cos x+\sin x \right)}^{2}}} \\ & ={{\left[ \dfrac{\sqrt{2}\sin \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)}{\sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)} \right]}^{2}} \\ & ={{\tan }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)=VP \\ \end{align} \)

d) \(\tan x-\tan y=\dfrac{\sin \left( x-y \right)}{\cos x\cos y}\)

Ta có

\(\begin{align} VT& =\tan x-\tan y \\ & =\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\sin y}{\cos y} \\ & =\dfrac{\sin x\operatorname{cosy}-\sin y\cos x}{\cos x\cos y} \\ & =\dfrac{\sin \left( x-y \right)}{\cos x\cos y}=VP \\ \end{align} \)

Bài trước Bài sau

Lớp 10

Ôn tập chương 6

Lớp 10

Chương 1: Xã hội nguyên thủy Chương 1: Nguyên tử Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Chương 1: Vectơ Phần 1: Cơ học Chương 1: Thành phần hóa học của tế bào Chương 1: Chuyển hóa vật chất và năng lượng ở vi sinh vật Chương 1: Động học chất điểm Chương 5: Địa lí dân cư Chương 1: Động học chất điểm Chương 1: Việt Nam từ thời nguyên thủy đến thế kỉ X Chương 5: Chất khí Chương 1: Các cuộc cách mạng tư sản (từ giữa thế kỉ XVI đến cuối thế kỉ XVIII) Phần 1: Công dân với việc hình thành thế giới quan, phương pháp luận khoa học. Chương 1: Nguyên tử Chương 1: Bản Đồ Chương 2: Xã hội cổ đại Chương 2: Vũ trụ. Hệ quả các chuyển động của trái đất Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn Phần 2: Nhiệt học Chương 2: Cấu trúc của tế bào Chương 2: Sinh trưởng và sinh sản của vi sinh vật Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Chương 6: Cơ cấu nền kinh tế Chương 2: Động lực học chất điểm Chương 2: Động lực học chất điểm Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương 6: Cơ sở của nhiệt động lực học Chương 2: Việt Nam từ thế kỉ X đến thế kỉ XV Chương 2: Các nước Âu - Mỹ Phần 2: Công dân với đạo đức Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn Chương 3: Trung Quốc thời phong kiến Chương 3: Cấu trúc của Trái Đất. Các quyển của Trái Đất. Chương 3: Liên kết hóa học Chương 3: Chuyển hóa vật chất và năng lượng trong tế bào Chương 3: Virut và bệnh truyền nhiễm Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chương 7: Địa lí nông nghiệp Chương 3: Tĩnh học vật rắn Chương 3: Cân bằng và chuyển động của vật rắn Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể Chương 3: Việt Nam từ thế kỉ XVI đến thế kỉ XVIII Chương 3: Phong trào công nhân (từ đầu thế kỉ XIX đến đầu thế kỉ XX) Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình Chương 3: Liên kết hóa học Chương 4: Phản ứng oxi hóa - khử Chương 4 : Phân bào Chương 4: Một số quy luật của lớp vỏ địa lí Chương 8: Địa lí công nghiệp Chương 4: Các định luật bảo toàn Chương 4: Các định luật bảo toàn Chương 4: Việt Nam ở nửa đầu thế kỉ XIX Chương 4: Ấn Độ thời phong kiến Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình Chương 4: Phản ứng hóa học Chương 5: Nhóm Halogen Chương 9: Địa lí dịch vụ Chương 5: Cơ học chất lưu Sơ kết lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX Chương 5: Đông Nam Á thời phong kiến Chương 5: Nhóm halogen Chương 5: Thống kê Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Chương 6: Oxi - Lưu huỳnh Chương 10: Môi trường và sự phát triển bền vững Chương 6: Chất khí Chương 6: Tây Âu thời trung đại Chương 6: Nhóm oxi Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học Chương 8: Cơ sở của nhiệt động lực học

+ Mở rộng xem đầy đủ