Giải bài 3 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+1\)
a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A(1;\,2)\) và \(B(-2;\,-1)\).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
c) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0,\,x=0,\,x=1\) và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.
Gợi ý:
Công thức tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường \(y=0,\,x=0,\,x=1\) là: \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}dx}\)
a) Hai điểm \(A(1;\,2)\) và \(B(-2;\,-1)\) thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của A và B thỏa mãn phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 1+a+b+1=2 \\ & -8+4a-2b+1=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a+b=0 \\ & 4a-2b=6 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=1 \\ & b=-1 \\ \end{aligned} \right. \)
b) Với \(a=1,\,b=-1\) ta có \(y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=3{{x}^{2}}+2x-1 \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & x=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \)
Hàm số đồng biến trên \(\left(-1; \,\dfrac{1}{3}\right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,-1)\) và \(\left(\dfrac{1}{3};\,+\infty\right)\).
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \({x}=-1;{{y}_{CĐ}}=2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \({{x}}=\dfrac{1}{3};\,{{y}_{CT}}=\dfrac{22}{27}\).
+) Giới hạn
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)=-\infty \)
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
c) Thể tích vật tròn xoay cần tìm là
\(\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}dx} \\ & =\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{6}}+2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2x+1 \right)dx} \\ & =\pi \left( \dfrac{{{x}^{7}}}{7}+\dfrac{{{x}^{6}}}{3}-\dfrac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \\\\ \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\\\ \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\pi \left( \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+1-1+1 \right) \\ & =\dfrac{134\pi }{105} \,(\text{đvtt})\\ \end{aligned} \)