Giải bài 8 trang 147 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+1\) trên đoạn \(\left[ -2;\,\dfrac{5}{2} \right]\)
b) \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\ln x \) trên đoạn \(\left[ 1;\,e \right] \)
c) \(f\left( x \right)=x{{e}^{-x}}\) trên đoạn \(\left[ 0;\,+\infty \right) \)
d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \(\left[ 0;\,\dfrac{3\pi }{2} \right]\)
Hướng dẫn:
Muốn tìm GTLN của hàm số \(f(x)\) trên đoạn [a, b]
Bước 1: Tính \(f'(x)\)
Bước 2: Tìm x để \(f'(x)=0\) trên [a, b]
Bước 3: Tính \(f(x)\) tại các giá trị thỏa mãn \(f'(x)=0\) và \(f(a), f(b)\)
Bước 4: So sánh các giá trị rồi kết luận giá trị lớn nhất
a) \(D=\left[ -2;\,\dfrac{5}{2} \right]\). Hàm số liên tục trên \(\left[ -2;\,\dfrac{5}{2} \right]\)
\(f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6x-12 \\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ f\left( -1 \right)=8,\,f\left( 2 \right)=-19,\,f\left( -2 \right)=-3,\,f\left( \dfrac{5}{2} \right)=-\dfrac{33}{2} \\ \max\limits_{\left[ -2;\,\frac{5}{2} \right]}\,f\left( x \right)=8;\,\min\limits_{\left[ -2;\,\frac{5}{2} \right]}\,f\left( x \right)=-19 \)
b) \(D=\left[ 1;\,e \right] \). Hàm số liên tục trên \(\left[ 1;\,e \right] \)
\(f'\left( x \right)=2x\ln x+x=x\left( 2\ln x+1 \right)>0,\,\forall x\in \left[ 1;\,e \right] \\ \max\limits_{\left[ 1;\,e \right]}\,f\left( x \right)=f\left( e \right)={{e}^{2}};\,\min\limits_{\left[ 1;\,e \right]}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=0 \)
c) \(D=\left[ 0;\,+\infty \right) \) . Hàm số liên tục trên \(\left[ 0;\,+\infty \right) \)
\(f'\left( x \right)={{e}^{-x}}-x{{e}^{-x}}={{e}^{-x}}\left( 1-x \right) \\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1 \\ \max\limits_{\left[ 0;\,+\infty \right)}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{e};\,\min\limits_{\left[ 0;\,+\infty \right)}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=0 \)
d) \(D=\left[ 0;\,\dfrac{3\pi }{2} \right]\) . Hàm số liên tục trên \(\left[ 0;\,\dfrac{3\pi }{2} \right]\)
\(f'\left( x \right)=2\cos x+2\cos 2x=2\left( 2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1 \right) \\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x=-1 \\ & \cos x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{3} \\ \end{aligned} \right. \\ f\left( 0 \right)=f\left( \pi \right)=0;\,f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\,f\left( \dfrac{3\pi }{2} \right)=-2 \\ \max\limits_{\left[ 0;\,\frac{3\pi }{2} \right]}\,f\left( x \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2};\,\min\limits_{\left[ 0;\,\frac{3\pi }{2} \right]}\,f\left( x \right)=-2 \)