Giải bài 7 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(y=\dfrac{2}{2-x} \).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số \(y=x^2+1\) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng \(y=0,\,x=0,\,x=1\) quanh trục Ox.
Hướng dẫn:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) có dạng: \(y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0\)
a) \(y=\dfrac{2}{2-x} \)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=\dfrac{2}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\ne 2\)
Hàm số đồng biến trên \((-\infty;\,2)\) và \((2;\,+\infty)\).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2}{2-x}=0 \) nên đường \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{2}{2-x}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\dfrac{2}{2-x}=+\infty\) nên đường \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
b) Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình
\(\,\,\,\,\,\dfrac{2}{2-x}={{x}^{2}}+1 \\ \Rightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=0 \\ \Leftrightarrow x{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right. \)
Với \(x=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y\left( 0 \right)=1 \\ & y'\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x=0\) là \(y=\dfrac{1}{2}x+1\).
Với \(x=1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y\left( 1 \right)=2 \\ & y'\left( 1 \right)=2 \\ \end{align} \right. \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x=1\) là \(y=2\left( x-1 \right)+2=2x\).
c) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là
\(\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \dfrac{2}{2-x} \right)}^{2}}dx} \\ & =\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx} \\ & =\pi \left( -\dfrac{4}{x-2} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\ \\ 0 \\ \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\ \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\pi \left( 4-2 \right) \\ & =2\pi \,\left( \text{đvtt} \right) \\ \end{aligned} \)