Giải bài 5 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b \).
a) Tính a, b để hàm số đạt cực trị bằng \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x = 1.\)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \( a=-\dfrac{1}{2},\,b=1\).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.
Hướng dẫn:
a) Hàm số đạt cực trị bằng \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x = 1\) nếu \(\left\{ \begin{aligned} & y'\left( 1 \right)=0 \\ & y\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2} \\ \end{aligned} \right.\)
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) có dạng: \(y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0\)
a) Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)
\(y'=4{{x}^{3}}+2ax\)
Hàm số đạt cực trị bằng \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x = 1.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y'\left( 1 \right)=0 \\ & y\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 4+2a=0 \\ & a+b=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-2 \\ & b=\dfrac{5}{2} \\ \end{aligned} \right. \)
b) Với \( a=-\dfrac{1}{2},\,b=1\) ta có \(y={{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=4{{x}^{3}}-x \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pm \dfrac{1}{2} \\ & x=0 \\ \end{aligned} \right. \)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\dfrac{1}{2}; \,0\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{2}; \,+\infty\right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty; \,-\dfrac{1}{2}\right)\) và \(\left(0;\,\dfrac{1}{2}\right)\).
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \({x}=0;{{y}_{CĐ}}=1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \({{x}}=\pm \dfrac{1}{2};\,{{y}_{CT}}=\dfrac{15}{16} \).
+) Giới hạn
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( {{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1 \right)=+\infty\)
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
c) Ta có \(y=1\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1=1 \)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{aligned} \right.\)
\(y'=4{{x}^{3}}-x\)
Với \(x=0\Rightarrow y'\left( 0 \right)=0\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y=1\)
Với \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y'\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=4.\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( x-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)+1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\dfrac{1}{2} \)
Với \(x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y'\left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=4.\dfrac{-1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( x+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)+1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\dfrac{1}{2}\)