Giải bài 65 trang 66 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho tam giác ABC có \(BC = 16 cm\) , đường cao \(AH = 12 cm\). Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (hình 17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36 \(cm^2.\)
Hình 17
Hướng dẫn:
Gọi K là giao điểm của AH và MN.
Gọi x là độ dài AK, tính kích thước hình chữ nhật MNPQ theo \(x\).
Gọi K là giao điểm của AH và MN.
Gọi \(x \,\,(cm , 0< x<12)\) là độ dài đoạn thẳng AK.
Độ dài đoạn thẳng \( MQ=NP=KH=12-x (cm)\)
Vì \(MN//BC\) nên \(\Delta AMN \backsim \Delta ABC\)
Suy ra \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AK}{AH}\Rightarrow \dfrac{MN}{16}=\dfrac{x}{12}\Leftrightarrow MN=\dfrac{4x}{3} \)
Vì diện tích hình chữ nhật MNPQ là 36 \(cm^2\) nên ta có phương trình:
\(\begin{align} & \frac{4x}{3}.\left( 12-x \right)=36 \\ & \Leftrightarrow 4x\left( 12-x \right)=108 \\ & \Leftrightarrow -4{{x}^{2}}+48x-108=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x+27=0 \\ \end{align} \)
Có \(\Delta '={{\left( -6 \right)}^{2}}-1.27=36-27=9>0 \)
Phương trình có hai nghiệm\( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=6+\sqrt{9}=9 \\ & {{x}_{2}}=6-\sqrt{9}=3 \\ \end{align} \right. \)
Vậy có hai vị trí của M thỏa mãn đề bài.
Cách dựng điểm M:
- Trên đường cao AH lấy điểm K sao cho \(AK=9 cm\) (hoặc \(AK= 3 cm\)). Qua K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M.