Cấp số nhân - Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi \(q\).
Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu \((u_n)\)là cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi
\(u_{n+1}=u_n.q,n\in N^*\)
2. Số hạng tổng quát
Định lí 1
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức
\(u_n=u_1.q^{n-1},n\geq 2\)
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lí 2
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\(u^2_k=u_{k-1}.u_{k+1}, k\geq 2\)
(hay \(\mid u_k \mid =\sqrt {u_{k-1}.u_{k+1}}\))
4. Tổng \(n\) số hạng đầu của một cấp số nhân
Định lí 3
Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q\neq1\). Đặt \(S_n=u_1+u_2+...+u_n\)
Khi đó
\(S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}\)
+ Mở rộng xem đầy đủ