Giới hạn của hàm số- Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash \left\{x_0\right\}\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n\in K\backslash \left\{x_0\right\}\) và \(x_n\to x_0\), ta có \(f(x_n)\to L\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) =L\) hay \(f(x)\to L\) khi \(x \to x_0\)
1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L, \lim\limits_{x \to x_0}g(x)=M\). Khi đó
+) \(\lim\limits_{x \to x_0}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M\)
+) \(\lim\limits_{x \to x_0}[f(x).g(x)]=L.M\)
+) \(\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}(M\neq0)\)
b) Nếu \(f(x) \geq0\) và \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L\) thì :
\(L\geq 0, \lim\limits_{x \to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}\)
1.3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((x_0;b)\)
Số \(L\) được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\) khi \(x\to x_0\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_0 < x_n < b\) và \(x_n\to x_0\), ta có \(f(x_n)\to L\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=L\)
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;x_0)\)
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;x_0)\)
Số \(L\) được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f(x)\) khi \(x\to x_0\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(a< x_n< x_0\) và \(x_n\to x_0\), ta có \(f(x_n)\to L\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=L\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=L\)
Định lí 2
\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L\) khi và chỉ khi \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=L\)
2. Định lí hữu hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3
a) Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;+\infty)\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x_n) \to L\)
Kí hiệu : \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=L\) hay \(f(x)\to L\) khi \(x\to +\infty\)
b) Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((-\infty;a)\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to -\infty\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n \to -\infty\), ta có \(f(x_n) \to L\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=L\) hay \(f(x)\to L\) khi \(x \to -\infty\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=L\) hay \(f(x)\to L\) khi \(x \to -\infty\)
3. Giới hạn vô cực của hàm số
3.1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;+\infty)\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là \(-\infty\) số khi \(x\to +\infty\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x_n) \to -\infty\)
Kí hiệu:\(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\) hay \(f(x_n) \to -\infty\) khi \(x\to +\infty\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là \(-\infty\) số khi \(x\to +\infty\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x_n) \to -\infty\)
Kí hiệu:\(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\) hay \(f(x_n) \to -\infty\) khi \(x\to +\infty\)
3.2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) \(\lim\limits_{x \to +\infty}x^k=+\infty\) với \(k\) nguyên dương
b) \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^k=-\infty\) , \(k\) lẻ
c) \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^k=+\infty\), \(k\) chẵn
+ Mở rộng xem đầy đủ