Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. Hoán vị
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa
Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử \((n\geq1)\)
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.
Nhận xét
Hai hoán vị của \(n\) phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
1.2. Số các hoán vị
Kí hiệu \(P_n\) là số các hoán vị của \(n\) phần tử.
Định lí
\(P_n=n(n-1)...2.1\)
Chú ý
Kí hiệu \(n.(n-1)...2.1\) là \(n!\) (đọc là \(n\) giai thừa), ta có \(P_n=n!\)
2. Chỉnh hợp
2.1. Định nghĩa
Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \((n\geq 1)\)
Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử khác nhau từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho.
2.2. Số các chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(1\leq k \leq n\))
Định lí
\(A_n^k=n(n-1)...(n-k+1)\)
Chú ý
a) Với quy ước 0!=1, ta có :
\(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}, 1 \leq k \leq n\)
b) Mỗi hoán vị của phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập \(n\) của \(n\) phần tử đó. Vì vậy
\(P_n=A_n^n\)
3. Tổ hợp
3.1. Định nghĩa
Giả sử tập \(A\) có \(n\) phần tử \((n\geq 1)\). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử của \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho.
Chú ý
Số \(k\) trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện \(1\leq k \leq n\). Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của \(n\) phần tử là tập rỗng.
3.2. Số các tổ hợp
Kí hiệu \(C_{n}^{k}\) là số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(0 \leq k \leq n\)).
Định lí
\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
3.3. Tính chất của các số \(C_n^k\)
a) Tính chất 1
\(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}(0\leq k \leq n)\)
b) Tính chất 2
\(C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}(1\leq k< n)\)
+ Mở rộng xem đầy đủ