Phương trình lượng giác cơ bản - Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. Phương trình \(sinx=a\)
Xét phương trình \(sin x=a\) (1)
- \(\mid a \mid >1\) : Phương trình (1) vô nghiệm.
- \(\mid a\mid \leq1\) : Phương trình (1) có các nghiệm là
\(x=\alpha+k2\pi,k\in Z\)
\(x=\pi-\alpha+k2\pi,k\in Z\)
Chú ý
a) Phương trình \(sin x=sin \alpha\) với \(\alpha\) là một số cho trước, có các nghiệm là
\(x=\alpha+k2\pi,k\in Z\)
và \(x=\pi-\alpha+k2\pi,k\in Z\)
b) Phương trình \(sinx =sin \beta^o\) có các nghiệm là
\(x=\beta^o+k360^o,k\in Z\)
và \(x=180^o-\beta^o+k360^o,k\in Z\)
c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
d) Các trường hợp đặc biệt
- Phương trình \(sin x=1\) có các nghiệm là \(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in Z\)
- Phương trình \(sinx=-1\) có các nghiệm là \(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in Z\)
- Phương trình \(sinx=0\) có các nghiệm là \(x=k\pi, k\in Z\)
- Phương trình \(sinx=0\) có các nghiệm là \(x=k\pi, k\in Z\)
2. Phương trình \(cosx=a\)
Xét phương trình \(cos x=a\) (2)
- \(\mid a \mid >1\) : Phương trình (2) vô nghiệm.
- \(\mid a\mid \leq1\) : Phương trình (2) có các nghiệm là
\(x=\pm \alpha+k2\pi,k\in Z\)
Chú ý
a) Phương trình \(cos x=cos \alpha\) với \(\alpha\) là một số cho trước, có các nghiệm là
\(x=\pm \alpha +k2\pi ,k\in Z\)
b) Phương trình \(cos x= cos \beta ^o\) có các nghiệm là
\(x=\pm \beta^o+k360^o,k\in Z\)
c) Nếu số thực \(\alpha\) thỏa mãn các điều kiện
\(\begin{cases}0\leq \alpha \leq \pi\\cos \alpha=a\end{cases}\)
thì ta viết \(\alpha=arccos a\). Khi đó, các nghiệm của phương trình \(cosx=a\) còn được viết là \(x=\pm arccos a+k2\pi,k\in Z\).
d) Các trường hợp đặc biệt
- Phương trình \(cosx=1\) có các nghiệm là \(x=k2\pi, k\in Z\)
- Phương trình \(cosx =-1\) có các nghiệm là \(x= \pi+ k2\pi,k\in Z\)
- Phương trình \(cos x=0\) có các nghiệm là \(x= \frac{\pi}{2}+ k\pi,k\in Z\)
- Phương trình \(cos x=0\) có các nghiệm là \(x= \frac{\pi}{2}+ k\pi,k\in Z\)
3. Phương trình \(tan x=a\)
Điều kiện của phương trình là \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi (k\in Z)\)
Nghiệm của phương trình \(tan x=a\) là \(x= arctan a+k\pi, k\in Z\)
Nghiệm của phương trình \(tan x=a\) là \(x= arctan a+k\pi, k\in Z\)
Chú ý
a) Phương trình \(tan x= tan \alpha\), với \(\alpha\) là một số cho trước, có các nghiệm là \(x=\alpha+k\pi, k\in Z\)
b) Phương trình \(tanx=tan \beta^o\) có các nghiệm là \(x=\beta^o+k180^o, k\in Z\)
4. Phương trình \(cot x=a\)
Điều kiện của phương trình là \(x\neq k\pi, k\in Z\)
Các nghiệm của phương trình \(cot x=a\) là \(x= arccot a+k\pi , k\in Z\)
Chú ý
a) Phương trình \(cot x= cot \alpha\), với \(\alpha\) là một số cho trước, có các nghiệm là \(x=\alpha +k\pi ,k\in Z\)
b) Phương trình \(cot x=cot \beta^o\) có các nghiệm là \(x=\beta^o+k180^o,k\in Z\)
+ Mở rộng xem đầy đủ