Giải bài 1 trang 91 – SGK môn Hình học lớp 12

Gợi ý: 

a) Chứng minh \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right].\overrightarrow{AC}\ne 0\), suy ta bốn điểm không đồng phẳng.

b) Vận dụng công thức \(\cos \left( AB,CD \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\).

c) Khoảng cách từ A đến (BCD) là độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;0;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;1 \right),\overrightarrow{CD}=\left( -2;1;-2 \right)\)

\(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=\left( -2;-2;1 \right)\)

\(\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right].\overrightarrow{AC}=\left( -2 \right).\left( -1 \right)+\left( -2 \right).0+1.1=3\ne 0\)

Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) \(\cos \left( AB,CD \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}=\dfrac{\left| 2+1+0 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{9}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow \left( AB,CD \right)={{45}^{o}}\)

c) Ta có \(\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;1 \right),\overrightarrow{BD}=\left( -2;0;-1 \right)\)

Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{\left( BCD \right)}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 1;-2;-2 \right)\)

Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng 

\(x-2\left( y-1 \right)-2z=0 \\ \Leftrightarrow x-2y-2z+2=0 \)

Khoảng cách từ A đến (BCD) là độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

Suy ra \(d\left( A,\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=1\)

Vậy độ dài đường cao của hình chóp bằng 1.