Giải bài 3 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho bốn điểm \(A\left( -2;6;3 \right),B\left( 1;0;6 \right),C\left( 0;2;-1 \right),D\left( 1;4;0 \right)\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.
a) Ta có \(\overrightarrow{BC}=\left( -1;2;-7 \right),\overrightarrow{BD}=\left( 0;4;-6 \right)\)
Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 16;-6;-4 \right) \)
Phương trình mặt phẳng (BCD) là
\(16\left( x-1 \right)-6y-4\left( z-6 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 8x-3y-2z+4=0 \)
Thay tọa độ điểm A vào phương trình (BCD) ta được
\(8.\left( -2 \right)-3.6-2.3+4=-36\ne 0 \\ \Rightarrow A\notin \left( BCD \right) \)
Vậy ABCD là một tứ diện.
b) \(AH=d\left( A,\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\left| 8.\left( -2 \right)-3.6-2.3+4 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{36}{\sqrt{77}}\)
c) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;-6;3 \right),\overrightarrow{CD}=\left( 1;2;1 \right)\)
Mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=\left( -12;0;12 \right)=-12\left( 1;0;-1 \right)\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là
\(x+2-\left( z-3 \right)=0 \\ \Leftrightarrow x-z+5=0 \)
Ghi nhớ:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian là: \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)
trong đó: \((a, b, c) \) là tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, \((x_0;y_0;z_0)\) là điểm thuộc mặt phẳng