Giải bài 10 trang 93 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho điểm \(M\left( 2;1;0 \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+3y-z-27=0\). Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \(\left( \alpha \right)\).
Hướng dẫn:
Bước 1: Tìm hình chiếu H của M trên \(\left( \alpha \right)\).
Bước 2: M' đối xứng với M qua \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi H là trung điểm của MM'.
Ta có \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left( 1;3;-1 \right)\)
Phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(\left\{ \begin{aligned} & x=2+t \\ & y=1+3t \\ & x=-t \\ \end{aligned} \right. \)
Lấy \(H\left( 2+t;1+3t;-t \right)\in d\) là hình chiếu của M trên \(\left( \alpha \right)\), vì \(H\in \left( \alpha \right)\) nên
\(2+t+3\left( 1+3t \right)-\left( -t \right)-27=0 \\ \Leftrightarrow 11t-22=0 \\ \Leftrightarrow t=2 \\ \Rightarrow H\left( 4;7;-2 \right) \)
Tọa độ điểm M' là
\(\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{M'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{M}}=6 \\ & {{y}_{M'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{M}}=13 \\ & {{z}_{M'}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{M}}=-4 \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow M'\left( 6;13;-4 \right) \)