Giải bài 8 trang 93 – SGK môn Hình học lớp 12
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right) \) tiếp xúc với mặt cầu
\(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-10x+2y+26z+170=0\)
và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=-5+2t \\ & y=1-3t \\ & z=-13+2t \\ \end{aligned} \right. \) và \( d':\left\{ \begin{aligned} & x=-7+3t' \\ & y=-1-2t' \\ & z=8 \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-3;2 \right),\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left( 3;-2;0 \right)\)
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right) \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{d'}}} \right]=\left( 4;6;5 \right) \)
Phương trình \(\left( \alpha \right) \) có dạng \(4x+6y+5z+D=0\).
Vì \(\left( \alpha \right) \) tiếp xúc với (S) nên \(d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=R\)
Tâm và bán kính của (S) là \(I\left( 5;-1;-13 \right),R=\sqrt{{{5}^{2}}+1+{{13}^{2}}-170}=5\)
\(d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=R\\ \Leftrightarrow \dfrac{\left| 20+6.\left( -1 \right)+5.\left( -13 \right)+D \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+{{5}^{2}}}}=5 \\ \Leftrightarrow \dfrac{\left| -51+D \right|}{\sqrt{77}}=5 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & D=5\sqrt{77}+51 \\ & D=-5\sqrt{77}+51 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài
\(4x+6y+5z+51\pm 5\sqrt{77}=0 \)
Ghi nhớ:
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu.