Giải bài 5 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho mặt cầu (S) có phương trình \({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=100 \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(2x-2y-z+9=0\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C).
Hãy xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
Gợi ý:
Gọi d là khoảng cách từ tâm I của (S) đến \(\left( \alpha \right)\) thì bán kính của (C) là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}\). Tâm K của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên \(\left( \alpha \right)\).
* Tâm và bán kính của (S) là \(I\left( 3;-2;1 \right),R=10 \)
Khoảng cách từ I đến \(\left( \alpha \right)\) là
\(d=\dfrac{\left| 2.3-2.\left( -2 \right)-1+9 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{18}{3}=6 \)
Bán kính đường tròn (C) là
\(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{100-36}=8\)
* Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=3+2t \\ & y=-2-2t \\ & z=1-t \\ \end{aligned} \right. \)
Gọi K là tâm đường tròn (C) suy ra K là hình chiếu của I trên \((\alpha)\).
Lấy \(K\left( 3+2t;-2-2t;1-t \right)\in d\), vì \(K\in (\alpha) \) nên
\(2\left( 3+2t \right)-2\left( -2-2t \right)-\left( 1-t \right)+9=0 \\ \Leftrightarrow 9t+18=0 \\ \Leftrightarrow t=-2 \\ \Rightarrow K\left( -1;2;3 \right) \)
Vậy (C) có tâm và bán kính lần lượt là \(K\left( -1;2;3 \right),r=8\)