Giải bài 2 trang 91 – SGK môn Hình học lớp 12

Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng \(A\left( 6;2;-5 \right),B\left( -4;0;7 \right)\)

a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).

b) Lập phương trình mặt cầu (S).

c) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Lời giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm là trung điểm của AB và bán kính \(r=\dfrac{AB}{2}\).

Ta có \(I\left( 1;1;1 \right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left( -10;-2;12 \right)\\ \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{10}^{2}}+{{2}^{2}}+{{12}^{2}}}=2\sqrt{62} \\ \Rightarrow r=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{62} \)

b) Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là

\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=62 \)

c) Ta có \(\overrightarrow{IA}=\left( 5;1;-6 \right)\)

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận \(\overrightarrow{IA}\) là vectơ pháp tuyến và đi qua A có dạng

\(5\left( x-6 \right)+y-2-6\left( z+5 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 5x+y-6z-62=0 \)

Ghi nhớ:
Tọa độ tâm I của đoạn thẳng AB trong không gian là: \(\left(\dfrac{x_A+x_B} 2; \dfrac{y_A+y_B} 2, \dfrac{z_A+z_B} 2 \right)\)
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm \(I (a, b, c)\) và bán kính R là: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)

Mục lục Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian theo chương •Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12

Bài trước Bài sau

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Ôn tập chương 3 Hình học 12

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

+ Mở rộng xem đầy đủ