Giải bài 10 trang 91 – SGK môn Hình học lớp 12
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và (B'C'D').
Gợi ý:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho \(O\equiv A=\left( 0;0;0 \right),\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{AA'}\)
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho \(O\equiv A=\left( 0;0;0 \right),\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{AA'}\)
Trong hệ tọa độ Oxyz có
\(A'\left( 0;0;1 \right),B\left( 1;0;0 \right),\,D\left( 0;1;0 \right) \\ B'\left( 1;0;1 \right),\,D'\left( 0;1;1 \right),\,C\left( 1;1;0 \right) \)
Đặt \(\left( \alpha \right)=\left( A'BD \right)\) và \(\left( \beta \right)=\left( B'D'C \right)\).
Phương trình của các mặt phẳng \((\alpha)\) là
\(\left( \alpha \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{1}=1 \\ \Leftrightarrow x+y+x-1=0 \)
Ta có \(\overrightarrow{B'D'}=\left( -1;1;0 \right),\overrightarrow{B'C}=\left( 0;1;-1 \right)\)
Vec tơ pháp tuyến của \((\beta)\) là
\(\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left[ \overrightarrow{B'D'},\overrightarrow{B'C} \right]=\left( -1;-1;-1 \right)\)
Phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là
\(-\left( x-1 \right)-y-\left( z-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow x+y+z-2=0 \)
\(d\left( A,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| -1 \right|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ d\left( A,\left( \beta \right) \right)=\dfrac{\left| -2 \right|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \)