Giải bài 6 trang 90 – SGK môn Hình học lớp 12
Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{aligned} & x=-3+2t \\ & y=-1+3t \\ & z=-1+2t \\ \end{aligned} \right. \) và mặt phẳng \( \left( \alpha \right):2x-2y+z+3=0 \).
Chú ý:
Chỉ có khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng nếu đường thẳng song song với mặt phẳng.
Hướng dẫn:
Lấy một điểm M thuộc đường thẳng. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng bằng khoàng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng.
Lấy \(M\left( -3;-1;-1 \right)\in d\) .
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow{u}=\left( 2;3;2 \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) là \(\overrightarrow{n}=\left( 2;-2;1 \right)\).
Ta có \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=4-6+2=0\) và \(M\notin \left( \alpha \right) \)
\( \Rightarrow \Delta //\left( \alpha \right) \)
\(\begin{aligned} \Rightarrow d\left( \Delta ,\left( \alpha \right) \right)& =d\left( M,\left( \alpha \right) \right)\\& =\dfrac{\left| 2.\left( -3 \right)-2.\left( -1 \right)-1+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}\\&=\dfrac{2}{3} \\ \end{aligned} \)