Giải bài 9 trang 91 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{ \begin{aligned} & x=1-t \\ & y=2+2t \\ & z=3t \\ \end{aligned} \right. \) và \( d':\left\{ \begin{aligned} & x=1+t' \\ & y=3-2t' \\ & z=1 \\ \end{aligned} \right. \)
Chứng minh d và d' chéo nhau.
Hướng dẫn:
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a'}\) không cùng phương và hệ phương trình \(\left\{\begin{align} & {x}_{o} + t {a}_{1}=x_{o}^{'} + t a_{1}^{'} \\ & {y}_{o} + t {a}_{2}=y_{o}^{'} + t a_{2}^{'} \\ & {z}_{o} + t {a}_{3}=z_{o}^{'} + t a_{3}^{'} \\ \end{align} \right. \) vô nghiệm.
Ta có \(\overrightarrow{u_d}=(1;2;3)\ne k\overrightarrow{u_d'}=(1;-2;0)\)
Suy ra hai đường thẳng không song song hoặc trùng nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & 1+t=1+t' \\ & 2+2t=3-2t' \\ & 3t=1 \\ \end{aligned} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t=t' \\ & t=-t' \\ & t=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t'=\dfrac{1}{3} \\ & t'=-\dfrac{1}{3} \\ & t=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \) (vô lí)
Hệ phương trình vô nghiệm nên d và d' chéo nhau.