Giải bài 4 trang 90 – SGK môn Hình học lớp 12
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+at \\ & y=t \\ & z=-1+2t \\ \end{aligned} \right. \) và \( d':\left\{ \begin{aligned} & x=1-t' \\ & y=2+2t' \\ & z=3-t' \\ \end{aligned} \right. \)
Gợi ý:
Hai đường thẳng cắt nhau nên tọa độ giao điểm thỏa mãn cả hai phương trình.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & 1+at=1-t' \\ & t=2+2t' \\ & -1+2t=3-t' \\ \end{aligned} \right. \)
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & 1+at=1-t' \\ & t=2+2t' \\ & -1+2t=3-t' \\ \end{aligned} \right. \)(I)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & at+t'=0\,\left( 1 \right) \\ & t-2t'=2\,\left( 2 \right) \\ & 2t+t'=4\,\left( 3 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Từ hai phương trình (2) và (3) \(\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & t=2 \\ & t'=0 \\ \end{aligned} \right. \)
Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ (I) có duy nhất nghiệm
Khi và chỉ khi t và t' thỏa mãn phương trình (1).
\(\Leftrightarrow2a=0\Leftrightarrow a=0\)
Vậy a = 0 thì hai đường thẳng trên cắt nhau.