Giải bài 7 trang 91 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho điểm \(A\left( 1;0;0 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1+2t \\ & z=t \\ \end{align} \right. \)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng \(\Delta\).
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng \(\Delta\).
Hướng dẫn:
a) Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với \(\Delta\)
Bước 2: Giao điểm H của \(\Delta\) và (P) là hình chiếu cần tìm.
b) Điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng \(\Delta\) nếu và chỉ nếu H là trung điểm của AA'.
a) Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;1 \right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với \(\Delta\) có dạng
\(x-1+2y+z=0 \\ \Leftrightarrow x+2y+z-1=0 \)
Gọi \(H\left( 2+t;1+2t;t \right)\in \Delta\) là hình chiếu của A trên \(\Delta\). Suy ra \(H\in \left( P \right)\) nên tọa độ H thỏa mãn (P).
\(2+t+2\left( 1+2t \right)+t-1=0 \\ \Leftrightarrow 6t+3=0 \\ \Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2} \\ \Rightarrow H\left( \dfrac{3}{2};0;-\dfrac{1}{2} \right) \)
b) Ta có A' đối xứng với A qua \(\Delta \) nên H là trung điểm của AA'.
Tọa độ điểm A' là
\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{A'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=2 \\ & {{y}_{A'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}}=0 \\ & {{z}_{A'}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}}=-1 \\ \end{align} \right. \\ \Rightarrow A'\left( 2;0;-1 \right) \)