Giải bài 3 trang 90 – SGK môn Hình học lớp 12
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=-3+2t \\ & y=-2+3t \\ & z=6+4t \\ \end{aligned} \right. \) và \(d':\left\{ \begin{aligned} & x=5+t' \\ & y=-1-4t' \\ & z=20+t' \\ \end{aligned} \right. \);
b) \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=t \\ & z=3-t \\ \end{aligned} \right. \) và \( d':\left\{ \begin{aligned} & x=1+2t' \\ & y=-1+2t' \\ & z=2-2t' \\ \end{aligned} \right. \)
Hướng dẫn:
+) Nếu \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=k\overrightarrow{{{u}_{d'}}}\) thì lấy điểm \(M\in d\) và kiểm tra xem \(M\in d' \) không?
Nếu \(M\in d' \) thì hai đường thẳng trùng nhau.
Nếu \(M\notin d' \) thì hai đường thẳng song song với nhau.
+) Nếu \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}\ne \overrightarrow{{{u}_{d'}}}\) ta tìm số giao điểm của hai đường thẳng
a) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & -3+2t=5+t' \\ & -2+3t=-1-4t' \\ & 6+4t=20+t' \\ \end{aligned} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 2t-t'=8 \\ & 3t+4t'=1 \\ & 4t-t'=14 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t=3 \\ & t'=-2 \\ \end{aligned} \right. \)
Hệ có nghiệm duy nhất nên hai đường thẳng cắt nhau.
Chú ý: Nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng chéo nhau.
b) Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;-1 \right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{{{u}_{d'}}}\)
Lấy điểm \(M\left( 1;2;3 \right)\in d\). Thay tọa độ điểm M vào đường thẳng d' ta được
\(\left\{ \begin{aligned} & 1=1+2t' \\ & 2=-1+2t' \\ & 3=2-2t' \\ \end{aligned} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t'=0 \\ & t'=\dfrac{3}{2} \\ & t'=-\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \) (vô lí)
Hệ vô nghiệm hay M không thuộc d'
Vậy hai đường thẳng song song với nhau.